الوحدة الرابعة : حساب المثلثات ١ / ٧ زتونة
زتونة
رياضيات · الصف الثالث الإعدادي

الوحدة الرابعة : حساب المثلثات

علم حساب المثلثات هو أحد فروع الرياضيات الذي يتناول دراسة العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات زواياه. سندرس في هذه الوحدة تاريخ هذا العلم، ووحدات قياس الزوايا، والنسب المثلثية الأساسية للزوايا الخاصة.

تاريخ حساب المثلثات قياس الزوايا النسب المثلثية
الوحدة الرابعة : حساب المثلثات ٢ / ٧ زتونة

المفاهيم الأساسية

علم حساب المثلثات
هو أحد فروع الرياضيات الذي يتناول دراسة العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات زواياه.
الدرجة (°)
هي وحدة قياس الزوايا الأساسية. الدرجة الواحدة تساوي 60 دقيقة.
الدقيقة (')
هي وحدة فرعية لقياس الزوايا. الدقيقة الواحدة تساوي 60 ثانية.
الثانية (")
هي وحدة فرعية لقياس الزوايا. الثانية الواحدة هي 1/60 من الدقيقة.
جيب الزاوية (sin)
هي النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر في المثلث القائم الزاوية.
جيب تمام الزاوية (cos)
هي النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر في المثلث القائم الزاوية.
الوحدة الرابعة : حساب المثلثات ٣ / ٧ زتونة

تاريخ حساب المثلثات

علم حساب المثلثات له تاريخ طويل بدأ مع الحضارات القديمة التي استخدمت مبادئه في البناء والفلك. قدماء المصريين كانوا أول من استخدم قواعد حساب المثلثات في بناء الأهرامات والمعابد، وفي دراسة الفلك، وحساب المسافات الجغرافية.

تطور العلم مع البابليين الذين قاسوا الزوايا بالدرجات والدقائق والثواني. ثم جاءت إسهامات علماء العرب والمسلمين الذين صاغوا العديد من المفاهيم في علم الفلك وحساب المثلثات، والتي تعرف عليها الغرب لاحقًا.

من أبرز العلماء أبو الريحان البيروني (ولد 362 هـ / 973 م، توفي 440 هـ / 1048 م) الذي قام بعمل جداول لجيوب الزوايا. كما استنتج نصير الدين الطوسي أن جيوب الزوايا تتناسب مع الأضلاع المقابلة لها، وهو ما يعرف بقانون الجيب.

النقاط الرئيسية

★ قدماء المصريين أول من استخدموا قواعد حساب المثلثات في البناء والفلك.
★ البابليون قاسوا الزوايا بوحدات الدرجات والدقائق والثواني.
★ أبو الريحان البيروني قام بعمل جداول لجيوب الزوايا.
★ نصير الدين الطوسي استنتج قانون الجيب.
★ علماء العرب والمسلمين صاغوا مفاهيم أساسية نقلها الغرب.
الوحدة الرابعة : حساب المثلثات ٤ / ٧ زتونة

القوانين والتحويلات

قانون الجيب (Sine Rule)
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

حيث: a, b, c = أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا A, B, C على الترتيب.

تحويل الزوايا إلى درجات عشرية
$$ \text{الزاوية بالدرجات العشرية} = \text{الدرجات} + \frac{\text{الدقائق}}{60} + \frac{\text{الثواني}}{3600} $$

حيث: الدرجات = الجزء الصحيح، الدقائق = الجزء الأول بعد الفاصلة مضروب في 60، الثواني = الجزء المتبقي مضروب في 60.

التحويلات بين وحدات قياس الزوايا
$$ 1^\circ = 60' = 3600'' $$

حيث: (°) الدرجة، (') الدقيقة، (") الثانية.

النقاط الرئيسية

★ لتحويل زاوية من درجات ودقائق وثواني إلى درجات عشرية، نجمع الدرجات مع (الدقائق/60) مع (الثواني/3600).
★ لتحويل زاوية من درجات عشرية إلى درجات ودقائق وثواني، نأخذ الجزء الصحيح كدرجات، ونضرب الجزء العشري في 60 للحصول على الدقائق، ثم نضرب الجزء العشري المتبقي في 60 للحصول على الثواني.
★ قانون الجيب ينطبق على أي مثلث: النسبة بين طول الضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة.
★ الدرجة الواحدة تساوي 60 دقيقة، والدقيقة الواحدة تساوي 60 ثانية.
الوحدة الرابعة : حساب المثلثات ٥ / ٧ زتونة

مثال تطبيقي محلول

📝 السؤال
حوّل الزاوية 60.123° إلى صيغة الدرجات والدقائق والثواني.

✏️ الحل خطوة بخطوة

١

الجزء الصحيح من العدد 60.123 هو 60، إذن الدرجات = 60°.

٢

الجزء العشري المتبقي هو 0.123. نضربه في 60 للحصول على الدقائق: 0.123 × 60 = 7.38'.

٣

الجزء الصحيح من 7.38 هو 7، إذن الدقائق = 7'. الجزء العشري المتبقي من الدقائق هو 0.38.

٤

نضرب الجزء العشري المتبقي (0.38) في 60 للحصول على الثواني: 0.38 × 60 = 22.8 ثانية. نقرب لأقرب عدد صحيح: 23 ثانية.

الإجابة النهائية

60° 7' 23"

الوحدة الرابعة : حساب المثلثات ٦ / ٧ زتونة

أسئلة للمراجعة الذاتية

فكّر في الإجابة أولاً، ثم اضغط «اكشف الإجابة»

السؤال ١
ما هو علم حساب المثلثات؟ وما العلاقة التي يدرسها؟
علم حساب المثلثات هو أحد فروع الرياضيات الذي يتناول دراسة العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات زواياه. فهو يربط بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات.
السؤال ٢
قارن بين إسهامات قدماء المصريين وعلماء العرب والمسلمين في تطور علم حساب المثلثات.
قدماء المصريين كانوا أول من استخدم قواعد حساب المثلثات تطبيقيًا في بناء الأهرامات والمعابد ودراسة الفلك. أما علماء العرب والمسلمين مثل البيروني والطوسي فقد طوروا العلم نظريًا، حيث قام البيروني بعمل جداول للجيوب، واستنتج الطوسي قانون الجيب، وصاغوا مفاهيم أساسية نقلها الغرب لاحقًا.
السؤال ٣
إذا كانت sin 30° = 1/2، و cos 30° = √3/2، فما قيمة tan 30°؟ استخدم تعريف ظل الزاوية.
ظل الزاوية (tan) هو النسبة بين جيب الزاوية وجيب تمامها. إذن: tan 30° = sin 30° / cos 30° = (1/2) / (√3/2) = 1/√3. ويمكن تبسيطها لتصبح √3/3.
الوحدة الرابعة : حساب المثلثات ٧ / ٧ زتونة

📋 ملخص الفصل الشامل

✓ علم حساب المثلثات يدرس العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث وقياسات زواياه.
✓ قدماء المصريين والبابليون وعلماء العرب والمسلمين أسهموا جميعًا في تطور هذا العلم.
✓ الزوايا تقاس بالدرجات (°) والدقائق (') والثواني ("). العلاقة بينهم: 1° = 60' = 3600".
✓ لتحويل زاوية إلى درجات عشرية: الزاوية = الدرجات + (الدقائق/60) + (الثواني/3600).
✓ قانون الجيب: في أي مثلث ABC، تكون النسبة بين طول الضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة: a/sin A = b/sin B = c/sin C.
✓ للزوايا الخاصة: sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tan 30°=1/√3. sin 45°=cos 45°=√2/2, tan 45°=1. sin 60°=√3/2, cos 60°=1/2, tan 60°=√3.
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ $$ \text{الزاوية} = \text{د} + \frac{\text{ق}}{60} + \frac{\text{ث}}{3600} $$ $$ 1^\circ = 60' = 3600'' $$ $$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$

أحسنت! لقد أتممت دراسة الوحدة الرابعة. تذكر أن الممارسة هي مفتاح الإتقان. حلّ تمارين إضافية على التحويلات والنسب المثلثية لتثبيت فهمك. استعد بثقة للاختبار!