الوحدة الثالثة : الإحصاء ١ / ٧

رياضيات · الصف الثالث الإعدادي

الوحدة الثالثة : الإحصاء

في هذا الفصل ندرس مفهوم التشتت في البيانات الإحصائية، وكيف يمكن لمجموعتين من البيانات أن تتشابه في المتوسط الحسابي ولكن تختلف في مدى تباعد أو تقارب قيمها. هذا المفهوم أساسي لفهم تنوع البيانات وقياس مدى انتشارها.

مفهوم التشتت مقاييس النزعة المركزية مقارنة المجموعات

الوحدة الثالثة : الإحصاء ٢ / ٧

المفاهيم الأساسية

الإحصاء

فرع من فروع الرياضيات يهتم بجمع البيانات وتنظيمها وتلخيصها وعرضها وتحليلها واستخلاص النتائج منها.

التشتت

مقياس يصف مدى تباعد أو تقارب مفردات مجموعة البيانات عن بعضها البعض أو عن قيمة مركزية مثل المتوسط الحسابي.

مقاييس النزعة المركزية

قيم عددية تمثل القيمة المركزية أو النموذجية لمجموعة البيانات، وأشهرها المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال.

المتوسط الحسابي

مجموع قيم البيانات مقسومًا على عددها. وهو أحد مقاييس النزعة المركزية التي قد تتشابه فيها مجموعتان مختلفتان.

مفردات البيانات

القيم الفردية أو العناصر التي تتكون منها مجموعة البيانات، مثل الأجور أو الدرجات أو الأعمار.

مقارنة المجموعات

عملية تحليل مجموعتين أو أكثر من البيانات لاكتشاف أوجه التشابه والاختلاف بينها، سواء في المتوسط أو في مدى انتشار البيانات.

الوحدة الثالثة : الإحصاء ٣ / ٧

مقدمة عن التشتت

التشتت هو مفهوم إحصائي مهم يكمّل فهمنا للبيانات. فمقاييس النزعة المركزية مثل المتوسط الحسابي تعطينا فكرة عن القيمة المركزية للبيانات، لكنها لا تخبرنا شيئًا عن مدى انتشار أو تجمع هذه البيانات حول تلك القيمة المركزية.

لذلك، عند تحليل البيانات، يجب أن ننظر إلى صورتين: الصورة المركزية (المتوسط) والصورة الخاصة بالانتشار (التشتت). مجموعتان من البيانات يمكن أن يكون لهما نفس المتوسط الحسابي تمامًا، لكن إحداهما تكون قيمها متقاربة جدًا حول هذا المتوسط، بينما تكون قيم الأخرى متباعدة ومشتتة.

هذا الاختلاف في التشتت له دلالات عملية كبيرة. على سبيل المثال، في مجال الجودة، نفضل المنتجات التي تكون مواصفاتها متقاربة (قليلة التشتت) لأن ذلك يعني ثباتًا في الجودة. وفي مجال التعليم، قد تشير الدرجات قليلة التشتت إلى تجانس مستوى الطلاب.

النقاط الرئيسية

★ التشتت مكمل ضروري لمقاييس النزعة المركزية لفهم صورة البيانات كاملة.

★ مجموعتان من البيانات يمكن أن تتساوى في المتوسط الحسابي ولكن تختلفان تمامًا في مدى انتشار قيمهما.

★ البيانات قليلة التشتت تكون مفرداتها متقاربة من بعضها ومن المتوسط.

★ البيانات عالية التشتت تكون مفرداتها متباعدة عن بعضها وعن المتوسط.

★ قياس التشتت يساعد في اتخاذ قرارات أكثر دقة بناءً على البيانات.

الوحدة الثالثة : الإحصاء ٤ / ٧

مثال توضيحي على التشتت

لتوضيح مفهوم التشتت بشكل عملي، دعنا نتأمل المثال الوارد في النص حول مجموعتي الأجور (أ) و (ب). هذا المثال يبين بوضوح كيف أن مقاييس النزعة المركزية وحدها لا تكفي لوصف البيانات.

لنفترض أن متوسط الأجور في المجموعتين (أ) و (ب) هو 205 جنيهات. هذا يعني أن المجموعتين متطابقتان من حيث مقياس النزعة المركزية الأكثر شيوعًا (المتوسط الحسابي). ومع ذلك، فإن طبيعة توزيع الأجور داخل كل مجموعة مختلفة تمامًا.

متوسط المجموعتين

م_أ = م_ب = 205 جنيه

حيث: م_أ = متوسط أجور المجموعة (أ), م_ب = متوسط أجور المجموعة (ب)

نطاق المجموعة (أ)

نطاق (أ) = 240 - 170 = 70 جنيه

حيث: نطاق البيانات = أكبر قيمة - أصغر قيمة. وهو أبسط مقاييس التشتت.

خصائص المجموعتين

★ المجموعة (أ): أجورها متقاربة. جميع مفرداتها (الأجور) تنحصر بين 170 و 240 جنيهًا. الفرق بين أعلى وأقل أجر هو 70 جنيهًا فقط.

★ المجموعة (ب): أجورها متباعدة. مفرداتها موزعة على نطاق أوسع بكثير (سيتم تحديده لاحقًا). الفرق بين أعلى وأقل أجر كبير.

★ المجموعة (أ) قليلة التشتت، مما يعني أن الأجور متجانسة ومتقاربة من بعضها ومن المتوسط (205).

★ المجموعة (ب) عالية التشتت، مما يعني وجود تفاوت كبير في الأجور بين الأفراد رغم تساوي المتوسط.

الوحدة الثالثة : الإحصاء ٥ / ٧

مثال تطبيقي محلول

📝 السؤال

لدى شركتين (س) و (ص) بيانات عن رواتب 5 موظفين في كل منهما بالجنيهات:
الشركة (س): 190، 200، 205، 210، 220
الشركة (ص): 150، 180، 205، 230، 260
أوجد المتوسط الحسابي للرواتب في كل شركة. ثم قارن بين تشتت الرواتب في الشركتين مع تفسير النتيجة.

✏️ الحل خطوة بخطوة

١

حساب متوسط الشركة (س):
المجموع = 190 + 200 + 205 + 210 + 220 = 1025 جنيه.
المتوسط الحسابي = 1025 ÷ 5 = 205 جنيهات.

٢

حساب متوسط الشركة (ص):
المجموع = 150 + 180 + 205 + 230 + 260 = 1025 جنيه.
المتوسط الحسابي = 1025 ÷ 5 = 205 جنيهات.
نلاحظ أن متوسط الرواتب في الشركتين متساوي.

٣

مقارنة التشتت باستخدام النطاق:
نطاق الشركة (س): أكبر راتب (220) - أصغر راتب (190) = 30 جنيه.
نطاق الشركة (ص): أكبر راتب (260) - أصغر راتب (150) = 110 جنيه.

٤

التحليل والاستنتاج:
رغم تساوي متوسط الرواتب (205 ج) في الشركتين، فإن نطاق الرواتب في الشركة (س) صغير (30 ج) مما يعني أن رواتبها متقاربة وقليلة التشتت. بينما نطاق الرواتب في الشركة (ص) كبير (110 ج) مما يعني أن رواتبها متباعدة وعالية التشتت. هذا يوضح أهمية قياس التشتت بجانب المتوسط.

النتيجة

المتوسط = 205 ج للشركتين
الشركة (س): قليلة التشتت | الشركة (ص): عالية التشتت

الوحدة الثالثة : الإحصاء ٦ / ٧

أسئلة للمراجعة الذاتية

فكّر في الإجابة أولاً، ثم اضغط «اكشف الإجابة»

السؤال ١

ما المقصود بمصطلح "التشتت" في الإحصاء؟ ولماذا يعتبر مكملاً لمقاييس النزعة المركزية؟

التشتت هو مقياس يصف مدى تباعد أو تقارب مفردات مجموعة البيانات عن بعضها البعض أو عن قيمة مركزية مثل المتوسط الحسابي. وهو يعتبر مكملاً لمقاييس النزعة المركزية (مثل المتوسط) لأن هذه المقاييس تعطي فقط فكرة عن القيمة المركزية للبيانات، بينما التشتت يوضح مدى انتشار البيانات حول تلك القيمة المركزية. بمعنى آخر، المتوسط يخبرنا عن "أين" مركز البيانات، والتشتت يخبرنا عن "كيف" تنتشر البيانات حول هذا المركز.

السؤال ٢

بناءً على المثال التوضيحي في الدرس، إذا كانت أجور المجموعة (أ) تنحصر بين 170 و240 جنيهاً، وأجور المجموعة (ب) تنحصر بين 120 و290 جنيهاً (بنفس المتوسط)، فما هي المجموعة الأكثر تشتتاً؟ ولماذا؟

المجموعة (ب) هي الأكثر تشتتاً. السبب هو أن نطاق أجورها (290 - 120 = 170 جنيهاً) أكبر بكثير من نطاق أجور المجموعة (أ) (240 - 170 = 70 جنيهاً). النطاق هو الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في البيانات، وهو أبسط مقاييس التشتت. كلما زاد النطاق، زاد تشتت البيانات وتباعدها عن بعضها. رغم أن متوسط الأجور في المجموعتين متساوٍ، فإن الأجور في المجموعة (ب) أكثر تباعدًا وتنوعًا.

السؤال ٣

طبق المفهوم: لديك مجموعتان من درجات الطلاب في اختبارين مختلفين، متوسط كل منهما 75 درجة. المجموعة الأولى درجاتها: 70، 72، 75، 78، 80. المجموعة الثانية درجاتها: 50، 65، 75، 85، 100. احسب نطاق كل مجموعة. أي المجموعتين أكثر تجانساً في مستوى الطلاب؟

نطاق المجموعة الأولى = 80 - 70 = 10 درجات.
نطاق المجموعة الثانية = 100 - 50 = 50 درجة.
المجموعة الأولى أكثر تجانساً في مستوى الطلاب. وذلك لأن نطاق درجاتها (10 درجات) صغير جداً مقارنة بنطاق المجموعة الثانية (50 درجة). النطاق الصغير يعني أن الدرجات متقاربة من بعضها ومن المتوسط (75)، مما يشير إلى تجانس كبير في المستوى بين الطلاب. بينما النطاق الكبير في المجموعة الثانية يشير إلى تفاوت كبير في المستويات (من ضعيف إلى ممتاز) رغم تساوي المتوسط.

الوحدة الثالثة : الإحصاء ٧ / ٧

📋 ملخص الفصل الشامل

✓ التشتت هو مقياس إحصائي يصف مدى تباعد أو تقارب قيم البيانات عن بعضها أو عن وسطها الحسابي.

✓ مقاييس النزعة المركزية (كالمتوسط) لا تكفي وحدها لوصف البيانات؛ يجب دراسة التشتت للحصول على الصورة الكاملة.

✓ مجموعتان من البيانات يمكن أن يكون لهما نفس المتوسط الحسابي ولكن يختلفان تمامًا في مدى تشتت البيانات.

✓ البيانات قليلة التشتت تكون مفرداتها متقاربة من بعضها (مثل أجور المجموعة أ بين 170 و240 جنيهاً).

✓ البيانات عالية التشتت تكون مفرداتها متباعدة عن بعضها (مثل أجور المجموعة ب التي لها نطاق واسع).

✓ أبسط مقياس للتشتت هو النطاق، وهو الفرق بين أكبر وأصغر قيمة في مجموعة البيانات.

م_أ = م_ب = 205 ج نطاق (أ) = 240 - 170 = 70 النطاق = القيمة العظمى - القيمة الصغرى التشتت ≠ المتوسط

أحسنت! لقد أتقنت مفهوم التشتت وأهميته. تذكر دائمًا: المتوسط يخبرك عن المركز، والتشتت يخبرك عن مدى انتشار البيانات حول هذا المركز. استمر في المذاكرة، أنت على الطريق الصحيح! 🚀