الوحدة الثالثة : الهندسة ١ / ٧

رياضيات · الصف الثاني الإعدادي

الوحدة الثالثة : الهندسة

في هذه الوحدة ستتعلم أساسيات الهندسة الإقليدية، بدءًا من مسلّمات التباين وعلاقاتها في المثلثات، وصولاً إلى مفاهيم المساقط العمودية، الدائرة، والأشكال المجسمة. ستتمكن من تطبيق هذه القوانين لحل مسائل هندسية متنوعة.

مسلّمات التباين متباينات المثلث الزاوية الخارجة

الوحدة الثالثة : الهندسة ٢ / ٧

المفاهيم الأساسية

المسلّمة (Axiom)

قضية تُقبل دون إثبات وتُستخدم كأساس لإثبات نظريات أخرى، مثل مسلّمات إقليدس التي بُنيت عليها الهندسة الإقليدية.

التباين (Inequality)

علاقة بين كميتين حيث إحداهما أكبر من أو أصغر من الأخرى، مثل $a > b$ أو $m(\angle A) < m(\angle B)$.

الزاوية الخارجة عن المثلث

زاوية تتكون من امتداد أحد أضلاع المثلث. قياسها أكبر من قياس أي زاوية داخلة في المثلث عدا الزاوية المجاورة لها.

متباينة المثلث

قانون هندسي ينص على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث، وأن طول أي ضلع أكبر من الفرق بين طولي الضلعين الآخرين.

المثلث متساوي الساقين

مثلث فيه ضلعان متساويان في الطول. في هذا المثلث تكون الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية متساوية في القياس.

الزوايا المتتامة والمتكاملة

زاويتان متتامتان إذا كان مجموعهما 90°، ومتكاملتان إذا كان مجموعهما 180°. متممة الزاوية الأصغر أكبر من متممة الزاوية الأكبر.

الوحدة الثالثة : الهندسة ٣ / ٧

مسلّمات التباين

مسلّمات التباين هي قواعد أساسية تحكم العلاقات بين الكميات غير المتساوية. تُستخدم هذه المسلّمات لإثبات العديد من النظريات والمتباينات في الهندسة والجبر، حيث تُقبل كبديهيات لا تحتاج إلى برهان.

على سبيل المثال، إذا علمنا أن قياس زاوية ما أكبر من قياس زاوية أخرى، يمكننا استخدام مسلّمة الإضافة لإثبات أن مجموع كل منهما مع نفس الكمية يحافظ على نفس العلاقة. هذه المسلّمات هي الأدوات المنطقية التي تبني عليها الاستنتاجات الرياضية.

تطبيقات مسلّمات التباين واسعة في حل المسائل الهندسية، مثل مقارنة قياسات الزوايا أو أطوال الأضلاع في الأشكال الهندسية المعقدة، مما يمكن الطالب من التحليل المنطقي والاستدلال الرياضي السليم.

النقاط الرئيسية

★ مسلّمة الإضافة: إذا كان $a > b$ فإن $a + c > b + c$ لأي كمية $c$.

★ مسلّمة الضرب في عدد موجب: إذا كان $a > b$ و $c > 0$ فإن $a \cdot c > b \cdot c$.

★ مسلّمة انتقال العلاقة: إذا كان $a > b$ و $b > c$ فإن $a > c$.

★ مسلّمة المجموع: إذا كان $a > b$ و $c > d$ فإن $a + c > b + d$.

★ تستخدم هذه المسلّمات مع خواص المثلثات، مثل تساوي زوايا القاعدة في المثلث متساوي الساقين، لحل المسائل.

الوحدة الثالثة : الهندسة ٤ / ٧

قوانين المثلثات والمتباينات

نظرية الزاوية الخارجة

$m(\angle ACD) > m(\angle A)$ و $m(\angle ACD) > m(\angle B)$

حيث: $\angle ACD$ = زاوية خارجة عن المثلث ABC, $\angle A , \angle B$ = زاويتان داخليتان غير مجاورتين لها.

متباينة المثلث (مجموع ضلعين)

$AB + BC > AC$

حيث: AB, BC, AC = أطوال أضلاع المثلث. هذا القانون صحيح لأي ضلعين والضلع الثالث.

متباينة الفرق بين ضلعين

$|AC - AB| < BC < AC + AB$

حيث: BC = طول الضلع الثالث, |AC - AB| = القيمة المطلقة للفرق بين طولي الضلعين الآخرين.

مجموع زوايا المثلث

$m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180°$

حيث: $m(\angle)$ = قياس الزاوية بالدرجات. هذه خاصية أساسية في أي مثلث.

قواعد تكميلية

★ الزاوية الخارجة عن المثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها.

★ في المثلث متساوي الساقين، الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية تكون متساوية.

★ متممة الزاوية الأصغر في القياس أكبر من متممة الزاوية الأكبر في القياس.

★ مكملة الزاوية الأصغر في القياس أكبر من مكملة الزاوية الأكبر في القياس.

الوحدة الثالثة : الهندسة ٥ / ٧

مثال تطبيقي محلول

📝 السؤال

في المثلث $ABC$، النقطة $D$ تقع داخل المثلث بحيث يقطع $CD$ الضلع $AB$ عند النقطة $E$. إذا كان قياس الزاوية $BED = 70°$ وقياس الزاوية $A = 40°$، فأثبت أن $m(\angle BDC) > 70°$.

✏️ الحل خطوة بخطوة

١

الزاوية $\angle BDC$ هي زاوية خارجة عن المثلث $BED$. وفقًا لنظرية الزاوية الخارجة، قياس الزاوية الخارجة أكبر من قياس أي زاوية داخلة غير مجاورة.

٢

إذن: $m(\angle BDC) > m(\angle BED)$. ونعلم من المعطيات أن $m(\angle BED) = 70°$، لذلك $m(\angle BDC) > 70°$.

٣

لإكمال البرهان، نلاحظ أيضًا أن الزاوية $\angle BED$ هي زاوية خارجة عن المثلث $ACE$، لذا $m(\angle BED) > m(\angle A)$. بما أن $m(\angle A)=40°$، فهذا يؤكد أن $m(\angle BED)=70° > 40°$، مما يتوافق مع النظرية.

٤

باستخدام مسلّمة انتقال العلاقة: بما أن $m(\angle BDC) > m(\angle BED)$ و $m(\angle BED) > m(\angle A)$، نستنتج أن $m(\angle BDC) > m(\angle A)$، أي $m(\angle BDC) > 40°$، وهو استنتاج أضعف من المطلوب إثباته ولكنه صحيح.

الإجابة النهائية

$m(\angle BDC) > 70°$

الوحدة الثالثة : الهندسة ٦ / ٧

أسئلة للمراجعة الذاتية

فكّر في الإجابة أولاً، ثم اضغط «اكشف الإجابة»

السؤال ١

ما هي المسلّمة؟ وما دورها في بناء النظريات الهندسية؟

المسلّمة هي قضية أو عبارة رياضية تُقبل كصحيحة دون الحاجة إلى إثبات. تُستخدم المسلّمات كأساس ومنطلق لبناء النظريات وإثباتها في النظام الرياضي. على سبيل المثال، مسلّمات إقليدس شكلت الأساس للهندسة الإقليدية، ومسلّمات التباين تستخدم لاستنتاج علاقات جديدة بين الكميات.

السؤال ٢

إذا كان في المثلث $ABC$: $AB = AC$ و $m(\angle DBC) > m(\angle DCB)$، فقارن بين $m(\angle ABD)$ و $m(\angle ACD)$. ما المسلّمة المستخدمة؟

بما أن $AB = AC$، فإن $m(\angle ABC) = m(\angle ACB)$ (زوايا القاعدة في مثلث متساوي الساقين). المعطى: $m(\angle DBC) > m(\angle DCB)$. بإضافة المتباينتين (باستخدام مسلّمة المجموع أو فكرة الإضافة)، نحصل على: $m(\angle DBC) + m(\angle ABC) > m(\angle DCB) + m(\angle ACB)$، أي $m(\angle ABD) > m(\angle ACD)$. المسلّمة المستخدمة هي فكرة إضافة متباينتين لهما نفس الاتجاه.

السؤال ٣

مثلث أطوال أضلاعه هي: 5 سم، 7 سم، و 13 سم. هل هذا المثلث ممكن هندسياً؟ طبق متباينة المثلث.

لا، هذا المثلث غير ممكن. وفقًا لمتباينة المثلث، يجب أن يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث. لنختبر: $5 + 7 = 12$ سم. هذا المجموع (12 سم) ليس أكبر من طول الضلع الثالث (13 سم)، بل هو أصغر منه. بما أن الشرط لم يتحقق، فلا يمكن أن يوجد مثلث بهذه الأطوال.

الوحدة الثالثة : الهندسة ٧ / ٧

📋 ملخص الفصل الشامل

✓ مسلّمات التباين الست (الإضافة، الطرح، الضرب في موجب، الانتقال، المجموع، المقارنة) هي قواعد بديهية تحكم العلاقات بين الكميات غير المتساوية وتُستخدم في البراهين.

✓ الزاوية الخارجة عن المثلث قياسها أكبر من قياس أي زاوية داخلة غير مجاورة لها، وتساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين.

✓ متباينة المثلث الأساسية: مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث ($AB+BC>AC$).

✓ متباينة الفرق: طول أي ضلع أكبر من الفرق بين طولي الضلعين الآخرين وأقل من مجموعهما ($|AC-AB| < BC < AC+AB$).

✓ في المثلث متساوي الساقين، الضلعان المتساويان يقابلان زاويتين متساويتين في القياس، وهي حقيقة تستخدم مع مسلّمات التباين.

✓ لحل المسائل، ابحث عن المثلثات التي تربط الزوايا أو الأضلاع المعطاة، وطبق النظرية المناسبة (كالزاوية الخارجة) ثم استخدم المسلّمات للوصول إلى النتيجة.

إذا $a > b$ فإن $a + c > b + c$ $m(\angle خارجة) > m(\angle داخلة)$ $AB + BC > AC$ $|AC - AB| < BC < AC + AB$ مجموع زوايا المثلث = 180°

أحسنت! لقد أتممت مراجعة الوحدة الثالثة. تذكر أن التمرين على المسائل والتطبيق العملي هو مفتاح إتقان الهندسة. استخدم هذه القوانين بثقة في امتحاناتك.