الوحدة الثانيه : الجبر ١ / ٧ زتونة
زتونة
رياضيات · الصف الأول الإعدادي

الوحدة الثانيه : الجبر

تتعلم في هذه الوحدة أساسيات الجبر، بما في ذلك كتابة وحل المتباينات، وإجراء العمليات الأساسية على الحدود والمقادير الجبرية مثل الضرب والقسمة. كما تتعرف على خصائص التباين وكيفية استخدامها لحل المشكلات الرياضية.

المتباينات العمليات الجبرية خصائص التباين
الوحدة الثانيه : الجبر ٢ / ٧ زتونة

المفاهيم الأساسية

الحد الجبري
تعبير يتكون من ثابت وواحد أو أكثر من المتغيرات مرفوعة لقوى صحيحة غير سالبة.
المقدار الجبري
مجموع أو فرق حدود جبرية.
المتباينة
علاقة رياضية تستخدم رموز المقارنة: $<$ (أصغر من)، $>$ (أكبر من)، $\leq$ (أصغر من أو يساوي)، $\geq$ (أكبر من أو يساوي).
العملية الجبرية
عمليات حسابية (جمع، طرح، ضرب، قسمة) تُجرى على الحدود والمقادير الجبرية.
حل المتباينة
إيجاد جميع قيم المتغير التي تحقق المتباينة.
مجموعة التعويض
المجموعة التي تنتمي إليها جميع القيم المحتملة للمتغير في المتباينة.
الوحدة الثانيه : الجبر ٣ / ٧ زتونة

كتابة وحل المتباينات

المتباينة هي علاقة رياضية تقارن بين عددين أو تعبيرين جبريين باستخدام رموز المقارنة. تُستخدم لتمثيل شروط في مواقف حياتية، مثل شرط الطول لدخول لعبة أو السرعة القصوى للسيارة.

لحل المتباينة، نبحث عن جميع قيم المتغير التي تجعل المتباينة صحيحة. هذه القيم تُشكل مجموعة جزئية من مجموعة التعويض تُسمى مجموعة الحل.

عند حل المتباينة من الدرجة الأولى في متغير واحد، نتبع نفس خطوات حل المعادلة، لكن مع مراعاة خصائص التباين الخاصة، خاصة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.

النقاط الرئيسية

★ المتباينة تعبر عن علاقة مقارنة باستخدام الرموز: $<$، $>$، $\leq$، $\geq$.
★ مجموعة الحل هي مجموعة جزئية من مجموعة التعويض تتضمن جميع القيم التي تحقق المتباينة.
★ خصائص التباين (الجمع، الطرح، الضرب) تُستخدم للحفاظ على صحة المتباينة أثناء الحل.
★ عند الضرب أو القسمة على عدد سالب، يجب عكس اتجاه رمز المتباينة.
★ مثال: إذا كان $3Z - 2 > 7$، فإن $3Z > 9$، وبالتالي $Z > 3$.
الوحدة الثانيه : الجبر ٤ / ٧ زتونة

القوانين والعمليات الجبرية

ضرب حد جبري في حد جبري
$(ax) \times (by) = abxy$

حيث: $a, b$ = ثوابت، $x, y$ = متغيرات.

خاصية التوزيع (ضرب حد في مقدار)
$a(b + c) = ab + ac$

حيث: $a$ = حد جبري، $(b + c)$ = مقدار جبري.

ضرب مقدارين جبريين
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

حيث: $(a + b)$ و $(c + d)$ = مقداران جبريان.

قسمة حد جبري على حد جبري
$\frac{ax}{bx} = \frac{a}{b}$

حيث: $a, b$ = ثوابت، $x$ = متغير، $x \neq 0$.

قواعد الأسس المهمة

★ $x^m \times x^n = x^{m+n}$
★ $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ (حيث $x \neq 0$)
★ $(x^m)^n = x^{mn}$
★ $x^0 = 1$ (حيث $x \neq 0$)
الوحدة الثانيه : الجبر ٥ / ٧ زتونة

مثال تطبيقي محلول

📝 السؤال
إذا طرح 2 من ثلاثة أمثال عدد ما، كان الناتج أكبر من 7. اكتب المتباينة التي تمثل هذا الموقف، ثم أوجد مجموعة الحل.

✏️ الحل خطوة بخطوة

١

نفرض أن العدد المجهول هو $Z$. ثلاثة أمثال العدد هي $3Z$.

٢

نطرح 2 من $3Z$، ويكون الناتج أكبر من 7. إذن المتباينة هي: $3Z - 2 > 7$.

٣

نحل المتباينة باستخدام خصائص التباين. نضيف 2 إلى طرفي المتباينة: $3Z - 2 + 2 > 7 + 2$، فتصبح $3Z > 9$.

٤

نقسم طرفي المتباينة على 3 (عدد موجب، فلا يتغير الاتجاه): $\frac{3Z}{3} > \frac{9}{3}$، فنحصل على $Z > 3$.

الإجابة النهائية

$Z > 3$

الوحدة الثانيه : الجبر ٦ / ٧ زتونة

أسئلة للمراجعة الذاتية

فكّر في الإجابة أولاً، ثم اضغط «اكشف الإجابة»

السؤال ١
ما الفرق بين الحد الجبري والمقدار الجبري؟
الحد الجبري هو تعبير يتكون من ثابت وواحد أو أكثر من المتغيرات مرفوعة لقوى صحيحة غير سالبة (مثل $5x^2y$). أما المقدار الجبري فهو مجموع أو فرق حدود جبرية (مثل $3x + 2y - 7$). بمعنى آخر، المقدار الجبري يمكن أن يحتوي على أكثر من حد مرتبط بعمليات الجمع أو الطرح.
السؤال ٢
ما الذي يحدث لاتجاه المتباينة عند ضرب طرفيها في عدد سالب؟ ولماذا؟
عند ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب، يجب عكس اتجاه رمز المتباينة (مثال: $<$ تصبح $>$). السبب هو الحفاظ على صحة العلاقة. فمثلاً، $4 > 2$ صحيحة، لكن عند الضرب في $-1$ يصبح الطرفان $-4$ و $-2$. هنا $-4$ ليست أكبر من $-2$، بل أصغر، لذا يجب عكس الاتجاه لتصبح المتباينة صحيحة: $-4 < -2$.
السؤال ٣
طبق خاصية التوزيع لتبسيط المقدار: $3(2x + 5)$.
باستخدام خاصية التوزيع $a(b + c) = ab + ac$، حيث $a = 3$، $b = 2x$، $c = 5$. إذن: $3(2x + 5) = (3 \times 2x) + (3 \times 5) = 6x + 15$.
الوحدة الثانيه : الجبر ٧ / ٧ زتونة

📋 ملخص الفصل الشامل

✓ المتباينة علاقة مقارنة تستخدم الرموز $<$، $>$، $\leq$، $\geq$ لتمثيل شروط حياتية مثل الحد الأدنى للعمر أو السرعة القصوى.
✓ حل المتباينة يعني إيجاد جميع قيم المتغير التي تجعلها صحيحة، وتشكل هذه القيم مجموعة جزئية من مجموعة التعويض تسمى مجموعة الحل.
✓ خصائص التباين (الجمع، الطرح، الضرب في عدد موجب) تحافظ على صحة المتباينة أثناء الحل، لكن الضرب في عدد سالب يعكس اتجاهها.
✓ الحد الجبري مكون من ثابت ومتغيرات، أما المقدار الجبري فهو مجموع أو فرق حدود جبرية.
✓ ضرب الحدود والمقادير الجبرية يتبع قوانين محددة مثل $(ax)(by)=abxy$ وخاصية التوزيع $a(b+c)=ab+ac$.
✓ قسمة حد جبري على حد جبري تتطلب قسمة المعاملات وتبسيط المتغيرات المتشابهة، مثل $\frac{ax}{bx} = \frac{a}{b}$ حيث $x \neq 0$.
$(ax) \times (by) = abxy$ $a(b + c) = ab + ac$ $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ $\frac{ax}{bx} = \frac{a}{b}$ $x^m \times x^n = x^{m+n}$ $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$

لقد أتقنت أساسيات الجبر! تذكر أن الممارسة المستمرة هي مفتاح الإتقان. استخدم هذه القوانين لحل المسائل بثقة.